Damit hätten wir: Da wir nach der "geringst möglichen Menge an Material" gefragt werden, müssen wir dafür sorgen, dass die Oberfläche möglichst klein bleibt. x��][��q�3���ь���e03�=KQ���D�4�KDߤв�U��+/���y��0�!�D��TXL��� �� Οw}'䮧�b�o������~0��S�؍RtrT;5Sa�
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Ableitung gefunden, dann wäre der Schluss vom lokalen zum globalen Extremum bei x0 in der Situation von Abb. Da b = 125 und der Umfang 2( l + b ) = 500 ist, können wir daraus schließen, dass l auch 125 ist. 7 0 obj RE: Extremwertaufgabe ohne Ableitung Hey, danke, ich hatte mir schon fast so etwas gedacht. 7,490 cm hat bei einem Fassungsvermögen von 330ml die geringste Oberfläche. Wir müssen noch mit der zweiten Ableitung überprüfen, ob es sich bei der Stelle um ein Minimum oder ein Maximum handelt. %�쏢 Die Oberfläche eines Zylinders wird mit folgender Formel berechnet: Wir haben zwei Gleichung mit zwei Variablen. Angenommen man hat zwei Nullstellen der 1. Gegeben ist die Funktion mit .Sei ein Punkt auf dem Graphen von mit .Der Ursprung , der Punkt und der Punkt begrenzen ein Dreieck. Dazu können wir die Nebenbedingung 500 = 2(l+b) benutzen. Die Ableitung f '(x) = 3 x 2 - 4 x hat die Nullstellen x = 0 und x = 4/3. Ableitung ist bei Extremwertaufgaben nicht nötig, man kommt besser ohne sie aus! Jegliche Vervielfältigung oder Weiterverbreitung in jedem Medium als Ganzes oder in Teilen bedarf schriftlicher Zustimmung. Die zweite Ableitung f ''(x) = 6 x - 4 nimmt für x = 0 einen negativen und für x = 4/3 einen positiven Wert an. <> @��. Es handelt sich hierbei nicht um Berechnung von Hoch- und Tiefpunkten einer Funktion, sondern es geht immer um das gleiche Schema: Irgendetwas soll maximal oder minimal werden. Wenn r und h in Zentimetern gemessen werden, können wir das Volumen in Kubikzentimetern berechnen. b. Da dies aber eine Funktion mit zwei Variablen ist, müssen wir sie so schreiben, dass eine der beiden Variablen wegfällt. Und diese Situation ist keineswegs eine „exotische“, die praktisch nie vorkäme. Nun haben wir nur noch eine Funktion mit einer einzigen Variablen. Zitationen sind willkommen und bedürfen keiner Genehmigung. Das Volumen eines Zylinders, der hier unsere Dose ist, ist abhängig von den Variablen r (Radius des Zylinders) und h (Höhe des Zylinders). Hier ist der Graph dieser Funktion: Welchen Flächeninhalt kann dieses Dreieck maximal haben?. Geometrisch kann dies dadurch erklärt werden, dass ein Quadrat immer die größte Fläche bei gleichem Umfang einschließt. Wir haben eine vorgegebene Größe (die Flüssigkeitsmenge, die die Dose halten muss) und müssen einen Zylinder finden, der dies am effektivsten kann. Im Prinzip ist diese Aufgabe ganz ähnlich der aus Beispiel 1. Da wir wissen wollen, für welchen x-Wert die Fläche maximal wird, müssen wir die Funktion ableiten und das Maximum bestimmen. Am häufigsten sieht man: Das Berechnen der Ableitung einer Funktion wird Differentiation oder Differenziation genannt; sprich, man differenziert diese Funktion. Da die konstante Funktion -2 die zweite Ableitung ist, und sie für alle Werte von b negativ ist, handelt es sich hierbei tatsächlich um einen Hochpunkt. stream 26.02.2011, 16:46: tigerbine: Auf diesen Beitrag antworten » RE: Extremwertaufgabe ohne Ableitung Die Ableitung f '(x) = 3 x 2 - 4 x hat die Nullstellen x = 0 und x = 4/3. Schritt 1: Fertige zunächst eine Skizze an, die den Sachverhalt verdeutlicht. 1 falsch. Variablen, Gleichungen, Funktionen, Graphen & mehr, Vektoren, Matrizen, Transformationen & mehr. Hierzu werden der Graph von und die Dreiecksseiten eingezeichnet. Wir benötigen aber eine Gleichung mit einer Variable. Sollte nach der größtmöglichen Fläche eines Quaders gefragt sein, so besitzt hier der Würfel das größte Verhältnis von Volumen zur Oberfläche aller Quader. Folglich liegt bei x=0 ein lokales Maximum und bei x=4/3 ein lokales Minimum vor. Deshalb lösen wir die Gleichung des Volumens nach einer Variablen auf und setzen diese dann in die andere ein: Um Extremstellen zu finden, benötigen wir noch die erste und zweite Ableitung: Jetzt setzen wir die 1. 2. Die zweite Ableitung f ''(x) = 6 x - 4 nimmt für x = 0 einen negativen und für x = 4/3 einen positiven Wert an. 3,745 cm und einer Höhe von ca. Ableitung gleich Null und setzen: Da wir nach einem Minimum suchen, müssen wir diesen Wert noch in die zweite Ableitung einsetzen und schauen, ob er größer als Null ist: Damit hätten wir bewiesen, dass es sich um ein Minimum handelt. Folglich liegt bei x=0 ein lokales Maximum und bei x=4/3 ein lokales Minimum vor. Die Dose soll dabei möglichst umweltschonend sein und die geringst mögliche Menge an Material in der Herstellung benötigen. Wir können entweder nach l oder nach b auflösen, da wir in beiden Fällen eine Gleichung mit nur einer Variablen bekämen. Die Fläche wird also maximal, wenn eine quadratische Fläche eingezäunt wird.